Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Průběh funkce - vyšetření funkce
s parametry
Funkce s parametrem je taková funkce, která ve svém předpisu obsahuje parametr.
Nejčastěji se jedná o reálný parametr tzn., že parametr může být jakékoliv reálné číslo.
Při vyšetřování průběhu funkce s parametrem jde o to zjistit, jaký vliv má každý z těchto parametrů na průběh zadané funkce nebo na určité vlastnosti funkce
(např. v jakých intervalech funkce roste, klesá, je konvexní, atd.).
Příklad: Zjistěte pro jaké hodnoty a je funkce f:y= (x2-5)/(x+3)-a·x klesající v celém definičním oboru.
Řešení:
Abychom zjistili jaké hodnoty a splňují zadání příkladu, musíme zjistit jak vypadá první derivace funkce (viz znaménka první derivace).
Výpočet první derivace: f´(x)=[(x2-5)/(x+3)-a·x]´=
[(2x·(x+3)-(x2-5)·1)/(x+3)2]-a= [(2x2+6x-x2+5)/(x+3)2]-a =
[(x2+6x+5)/(x+3)2]-a
Položíme derivaci rovno nule a zjistíme nulové body:
(1-a)·x2+(6-6a)·x+5-9a=0 → tuto rovnici můžeme řešit např. pomocí diskriminantu (řešení přenechám na čtenáři)
→
nulové body: x1=-3+2·(√(1-a)/(1-a)) a x2=-3-2·(√(1-a)/(1-a)) → vidíme, že pokud a>1 nebude existovat odmocnina z výrazu
(1-a), tudíž nebude existovat nulový bod a funkce nebude měnit monotonii (tedy bude růst nebo klesat).
Zjistíme, že pokud a>1, funkce bude klesající.
V celém definičním oboru bude tedy funkce klesat, pokud a>1.
Určitě není jednoduché řešit úlohy s parametrem, diskuse řešení mohou být často docela náročná (jak bylo vidět i v minulém příkladu).
Proto, pokud je to možné, je výhodné využít něčeho, co nám problém pomůže snadno vyřešit.
Velmi užitečným nástrojem při vyšetřování průběhu funkcí s parametrem může být právě GeoGebra. Postup je velice jednoduchý (viz. aplet).
Řešení pomocí GeoGebry: Stačí zadat parametr "a", funkci f a její derivaci. Změnou parametru již hned vidíme, že
pro a>1 je první derivace záporná pro všechna x (graf první derivace je pod osou x).
Vytvořeno programem GeoGebra