Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Mocninné funkce
Mocninné funkce jsou funkce tvaru y= xn.
Podle exponentu n rozlišujeme dva základní typy těchto funkcí:
Pokud je n přirozené číslo, jsou to mocninné funkce s přirozeným mocnitelem.
Pokud je n záporné celé číslo, jsou to mocninné funkce se záporným celým mocnitelem. Tyto funkce můžeme také zapsat
ve tvaru y= x-n, kde n je přirozené číslo.
Pojem mocninné funkce je možno rozšířit i pro racionální a reálný mocnitel, takové funkce ale přesahují rámec středoškolské matematiky.
Speciálně pro n=1 se jedná o lineární funkci, pro n=2 o kvadratickou funkci y= x2 a pro n=3 o základní kubickou funkci y= x3.
Vlastnosti mocninných funkcí y= xn, kde n je přirozené číslo:
Pokud n je liché.
- D(f)= R, H(f)= R.
- Je lichá.
- Není omezená shora, ani zdola.
- Je rostoucí v celém svém definičním oboru.
- Nemá maximum, ani minimum.
Pokud n je sudé.
- D(f)= R, H(f)= <0,+∞)
- Je sudá.
- Není omezená shora, je zdola omezená.
- Je rostoucí v intervalu <0,+∞).
- Je klesající v intervalu <-∞,0>.
- Nemá maximum, má minimum v bodě 0.
Vlastnosti mocninných funkcí y= x-n, kde n je přirozené číslo:
Pokud n je liché.
- D(f)= R-{0}, H(f)= R-{0}.
- Je lichá.
- Není omezená shora, ani zdola.
- Je klesající v (-∞,0) a v (0,+∞).
- Nemá maximum, ani minimum.
Pokud n je sudé.
- D(f)= R-{0}, H(f)= (0,+∞)
- Je sudá.
- Není omezená shora, je zdola omezená.
- Je rostoucí v intervalu (-∞,0).
- Je klesající v intervalu (0,+∞).
- Nemá maximum, ani minimum.
Graf mocninné funkce
Pro mocninné funkce s přirozeným mocnitelem je grafem přímka pro n=1 a křivka zvaná parabola n-tého stupně pro n>1.
Pro mocninné funkce se záporným mocnitelem je grafem křivka zvaná hyperbola stupně n+1.
Příklad : Sestrojte graf funkce y= x-1.
